Les mathématiciens enthousiasmés par une forme récemment découverte
Les mathématiciens sont enthousiasmés par la découverte récente d’une forme géométrique qui conserve une largeur constante, quelle que soit la dimension dans laquelle elle est mesurée.
En deux dimensions, cette forme est connue sous le nom de triangle de Reuleaux : un triangle équilatéral dont les coins sont reliés par des arcs courbes, créant une forme avec une largeur constante, mais avec une surface plus petite qu’un cercle. Désormais, une équipe de mathématiciens affirme avoir étendu cette forme à la troisième dimension et au-delà, résolvant ainsi un problème mathématique qui restait irrésolu depuis 1988.
Les origines du problème
Le problème a été initialement proposé par le mathématicien Oded Schramm, qui s’interrogeait sur l’existence d’objets à largeur constante plus petits qu’une sphère dans une dimension supérieure. Les recherches de l’équipe, actuellement hébergées sur le serveur de préimpression arXiv, semblent répondre par l’affirmative.
« La chose la plus étonnante est que le volume de chaque forme est facilement calculable », a déclaré Andriy Bondarenko, co-auteur de l’étude et mathématicien à l’Université norvégienne des sciences et de la technologie, dans un e-mail à Gizmodo. « Cela nous permet de comparer le n-volume de la forme avec le n-volume de la sphère unité, et de prouver rigoureusement que les volumes de nos formes sont exponentiellement plus petits. »
Le triangle de Reuleaux en tant que précurseur historique
Le triangle de Reuleaux (nommé d’après un ingénieur du XIXe siècle, mais utilisé bien plus tôt par des scientifiques comme Euler et Léonard de Vinci) peut être formé en traçant trois cercles qui se chevauchent. L’espace au centre constitue le triangle de Reuleaux. Le théorème de Blaschke-Lebesgue, publié en 1914 et 1915 par des mathématiciens éponymes, stipule que le triangle de Reuleaux possède la plus petite surface parmi toutes les courbes ayant une largeur constante. En d’autres termes, sa largeur reste la même, peu importe l’endroit où l’on trace des lignes parallèles sur ses bords extérieurs.
En deux dimensions, la forme est un triangle de Reuleaux. Dans un espace tridimensionnel, la forme devient oblongue, mais reste visualisable par notre esprit. Au-delà de la troisième dimension, l’équipe a pu projeter mathématiquement la largeur constante de cette forme dans des dimensions croissantes.
La percée mathématique
« Une des raisons pour lesquelles nous avons réussi cette construction est peut-être due au fait que nos formes sont un peu « déséquilibrées », avec le volume poussé dans une certaine direction », a expliqué Andriy Prymark, mathématicien à l’Université du Manitoba et co-auteur de la recherche, dans un e-mail à Gizmodo. « De cette manière, la forme ressemble moins à une sphère, ce qui lui permet d’atteindre un volume plus petit tout en conservant la même largeur. »
Selon New Scientist, dans des dimensions supérieures, la forme devient proportionnellement plus petite que la sphère équivalente, mais elle conserve la capacité de rouler en douceur, comme une roue, même si elle n’est pas ronde.
Un nom pour cette nouvelle forme ?
Cette découverte n’a pas encore reçu de nom officiel. En comparaison, des formes récemment découvertes, comme la forme à 13 côtés baptisée « le chapeau » ou le pavé « vampire Einstein », ont reçu des noms intéressants. La nouvelle forme, qui conserve une largeur constante tout en étant plus petite que la sphère de sa dimension, pourrait être appelée « la Svelte » ?
Plus d’informations : La forme améliorée du pavé « vampire Einstein » a enfin permis de résoudre un problème complexe de modélisation mathématique.
